Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Trigonometri

Ingat kembali bahwa
$\begin{aligned} f(x) & = \sin x \implies f'(x) = \cos x \\ f(x) & = \cos x \implies f'(x) = -\sin x \end{aligned}$
Dengan menggunakan fakta di atas, kita peroleh
$\begin{aligned} y & = \color{red}{3 \sin x}-\color{blue}{\cos x} \\ \implies y’ & = \color{red}{3 \cos x}-\color{blue}{(-\sin x)} \\ & = 3 \cos x + \sin x \end{aligned}$
Jadi, turunan dari $y = 3 \sin x-\cos x$ adalah $\boxed{3 \cos x+\sin x}$
(Jawaban B)

Ingat kembali bahwa
$f(x) = \cos x \implies f'(x) = -\sin x$
Dengan menggunakan fakta di atas dan aturan turunan fungsi aljabar, kita peroleh
$$\begin{aligned} g(x) & = 3x^2-\dfrac{1}{2x^2}+2 \cos x \\ & = 3x^2-\dfrac12x^{-2}+2 \cos x \\ g'(x) & = 3(2)x-\dfrac12(-2)x^{-3}+2(-\sin x) \\ & = 6x+\dfrac{1}{x^3}-2 \sin x \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{g'(x) = 6x+\dfrac{1}{x^3}-2 \sin x}$
(Jawaban A)

Ingat kembali bahwa
$\begin{aligned} f(x) & = \sin x \implies f'(x) = \cos x \\ f(x) & = \cos x \implies f'(x) = -\sin x \end{aligned}$
Dengan menggunakan fakta di atas, kita peroleh
$\begin{aligned} h(x) & = \color{red}{\sin x} + \color{blue}{\cos x} \\ \implies h'(x) & = 2 \color{red}{\cos x} + \color{blue}{(-\sin x)} \\ & = 2 \cos x-\sin x \end{aligned}$
Untuk $x = \dfrac12\pi$, kita peroleh
$\begin{aligned} h’\left(\dfrac12\pi\right) & = 2 \cos \dfrac12\pi-\sin \dfrac12\pi \\ & = 2(0)-1 = -1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{h’\left(\dfrac12\pi\right) = -1}$
(Jawaban B)

Gunakan aturan hasil kali turunan.
$$\boxed{f(x) = uv \implies f'(x) = u’v+uv’}$$Diketahui $T(x) = (\sin x + 1)(\sin x-2).$
Misalkan:
$\begin{aligned} u & = \sin x + 1 \implies u’ = \cos x \\ v & = \sin x-2 \implies v’ = \cos x \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} T'(x) & = u’v+uv’ \\ & = (\cos x)(\sin x-2)+(\sin x+1)(\cos x) \\ & = \color{red}{\cos x \sin x}\color{blue}{-2 \cos x} \color{red}{+ \cos x \sin x} \color{blue}{+ \cos x} \\ & = 2 \sin x \cos x-\cos x \\ & = \sin 2x-\cos x \end{aligned}$$Uretan: $\boxed{\sin 2x = 2 \sin x \cos x}$
Jadi, hasil diferensial (turunan) dari fungsi tersebut adalah $\boxed{T'(x) =\sin 2x-\cos x}$
(Jawaban C)

Gunakan aturan hasil kali turunan.
$$\boxed{f(x) = uv \implies f'(x) = u’v+uv’}$$Diketahui $h(\theta) = \left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right) \sin \theta.$
Misalkan:
$\begin{aligned} u & = \theta + \dfrac{\pi}{2} \implies u’ = 1 \\ v & = \sin \theta \implies v’= \cos \theta \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} h'(\theta) & = u’v+uv’ \\ & = 1(\sin \theta)+\left( \theta + \dfrac{\pi}{2}\right)(\cos \theta) \\ & = \sin \theta + \theta \cos \theta + \dfrac{\pi}{2} \cos \theta \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{h'(\theta) =\sin \theta + \theta \cos \theta + \dfrac{\pi}{2} \cos \theta}$
(Jawaban E)

Gunakan aturan hasil bagi turunan.
$$\boxed{f(x) = \dfrac{u}{v} \implies f'(x) = \dfrac{u’v-uv’}{v^2}}$$Diketahui $g(\theta) = \dfrac{1-\sin \theta}{\sin \theta-3}.$
Misalkan:
$\begin{aligned} u & = 1-\sin \theta \implies u’ = -\cos \theta \\ v & = \sin \theta-3 \implies v’ = \cos \theta \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} g'(\theta) & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{(-\cos \theta)(\sin \theta-3)-(1-\sin \theta)(\cos \theta)}{(\sin \theta-3)^2} \\ & = \dfrac{\cancel{-\sin \theta \cos \theta} +3 \cos \theta-\cos \theta+\cancel{\sin \theta \cos \theta}}{(\sin \theta-3)^2} \\ & = \dfrac{2 \cos \theta}{(\sin \theta-3)^2} \end{aligned}$$Jadi, hasil bagi diferensial (turunan) dari fungsi tersebut adalah $\boxed{\dfrac{2 \cos \theta}{(\sin \theta-3)^2}}$
(Jawaban E)

Gunakan aturan hasil bagi turunan.
$$\boxed{f(x) = \dfrac{u}{v} \implies f'(x) = \dfrac{u’v-uv’}{v^2}}$$Diketahui $R(t) = \dfrac{\sin t-\cos t}{\cos t + \sin t}.$
Misalkan:
$$\begin{aligned} u & = \sin t-\cos t \implies u’ = \cos t+\sin t \\ v & = \cos t+\sin t \implies v’ = -\sin t+\cos t \end{aligned}$$Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} R'(t) & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{(\cos t + \sin t)(\cos t + \sin t)-(\sin t-\cos t)(-\sin t+\cos t)}{(\cos t + \sin t)^2} \\ & = \dfrac{(\color{red}{\cos^2 t} + \sin t \cos t + \sin t \cos t \color{red}{+ \sin^2 t})-(\color{red}{-\sin^2 t}+\sin t \cos t+\sin t \cos t\color{red}{-\cos^2 t})}{\color{red}{\cos^2 t} + 2 \sin t \cos t + \color{red}{\sin^2 t}} \\ & = \dfrac{1 + \cancel{2 \sin t \cos t}-(-1)-\cancel{2 \sin t \cos t}}{1 + 2 \sin t \cos t} \\ & = \dfrac{2}{1+ \sin 2t} \end{aligned}$$Uretan: $\boxed{\begin{aligned} \sin 2t & = 2 \sin t \cos t \\ \sin^2 t + \cos^2 t & = 1 \end{aligned}}$
Jadi, turunan dari fungsi itu adalah $\boxed{R'(t) = \dfrac{2}{1+ \sin 2t}}$
(Jawaban D)

Ingat kembali bahwa:
$\begin{aligned} f(x) & = \tan x \implies f'(x) = \sec^2 x \\ f(x) & = \cot x \implies f'(x) = -\csc^2 x \end{aligned}$
Dengan menggunakan fakta di atas, kita peroleh
$\begin{aligned} y & = \color{red}{\tan x}-\color{blue}{\cot x} \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \color{red}{\sec^2 x}-(\color{blue}{-\csc^2 x}) \\ & = \sec^2 x + \csc^2 x \end{aligned}$
Untuk $x = \dfrac{\pi}{4},$ kita peroleh
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\rvert_{x = \frac{\pi}{4}} & = \sec^2 \dfrac{\pi}{4} + \csc^2 \dfrac{\pi}{4} \\ & = (\sqrt2)^2+(\sqrt2)^2 \\ & = 2+2 = 4 \end{aligned}$
Catatan: $\boxed{\sec \dfrac{\pi}{4} = \csc \dfrac{\pi}{4} = \sqrt2}$
Jadi, turunan pertama dari fungsi $y$ saat $x = \dfrac{\pi}{4}$ adalah $\boxed{4}$
(Jawaban E)

Ingat kembali bahwa:
$$\begin{aligned} f(x) & = \sec t \implies f'(x) = \sec t \tan t \\ f(x) & = \csc t \implies f'(x) = -\csc t \cot t \end{aligned}$$Dengan menggunakan fakta di atas, kita peroleh
$\begin{aligned} y & = \color{blue}{\sec t}-\color{red}{\csc t} \\ y’ & = \color{blue}{(\sec t \tan t)}-\color{red}{(-\csc t \cot t)} \\ & = \dfrac{1}{\cos t} \cdot \dfrac{\sin t}{\cos t} + \dfrac{1}{\sin t} \cdot \dfrac{\cos t}{\sin t} \\ & = \dfrac{\sin t}{\cos^2 t} + \dfrac{\cos t}{\sin^2 t} \\ & = \dfrac{\sin^3 t + \cos^3 t}{(\sin t \cos t)^2} \end{aligned}$
Jadi, turunan dari $y = \sec t-\csc t$ adalah $\boxed{\dfrac{\sin^3 t + \cos^3 t}{(\sin t \cos t)^2}}$
(Jawaban E)

Gunakan aturan hasil kali turunan.
$$\boxed{f(x) = uv \implies f'(x) = u’v+uv’}$$Diketahui $y = x^3 \tan x.$
Misalkan:
$\begin{aligned} u & = x^3 \implies u’ = 3x^2 \\ v & = \tan x \implies v’ = \sec^2 x \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} y’ &= u’v+uv’ \\ & = (3x^2)(\tan x)+(x^3)(\sec^2 x) \\ & = 3x^2 \tan x + (x^3)(\tan^2 x + 1) \\ & = x^3 \tan^2 x + 3x^2 \tan x + x^3 \end{aligned}$
Uretan: $\boxed{\sec^2 x = \tan^2 x + 1}$
Jadi, hasil dari $\boxed{y’ = x^3 \tan^2 x + 3x^2 \tan x + x^3}$
(Jawaban A)

Gunakan aturan hasil kali turunan.
$$\boxed{f(x) = uv \implies f'(x) = u’v+uv’}$$Diketahui $h(x) = x^2 \cot x.$
Misalkan:
$\begin{aligned} u & = x^2 \implies u’ = 2x \\ v & = \cot x \implies v’ = -\csc^2 x \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} h'(x) & = u’v+uv’ \\ & = (2x)(\cot x)+(x^2)(-\csc^2 x) \\ & = 2x \cot x-x^2 \csc^2 x \end{aligned}$
Untuk $x = \dfrac{\pi}{4}$, diperoleh
$$\begin{aligned} h’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) & = 2 \cdot \dfrac{\pi}{4} \cdot \cot \dfrac{\pi}{4}-\left(\dfrac{\pi}{4}\right)^2 \csc^2 \dfrac{\pi}{4} \\ & = \dfrac{\pi}{2} \cdot 1-\dfrac{\pi^2}{16} \cdot (\sqrt2)^2 \\ & = \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi^2}{8} \\ & = \dfrac{\pi}{8}(4-\pi) \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{h’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\pi}{8}(4-\pi)}$
(Jawaban B)

Gunakan aturan hasil bagi turunan.
$$\boxed{f(x) = \dfrac{u}{v} \implies f'(x) = \dfrac{u’v-uv’}{v^2}}$$Diketahui $g(x) = \dfrac{\cos x + 2}{\sin x}.$
Misalkan:
$\begin{aligned} u & = \cos x + 2 \implies u’ = -\sin x \\ v & = \sin x \implies v’ = \cos x \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} g'(x) & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{(-\sin x)(\sin x)-(\cos x + 2)(\cos x)}{(\sin x)^2} \\ & = \dfrac{-\sin^2 x -\cos^2 x-2 \cos x}{\sin^2 x} \\ & = \dfrac{-(\color{red}{\sin^2 x + \cos^2 x})-2 \cos x}{\sin^2 x} \\ & = \dfrac{-1-2 \cos x}{\sin^2 x} \end{aligned}$$Untuk $x = \dfrac{\pi}{2}$, diperoleh
$\begin{aligned} g’\left(\dfrac{\pi}{2}\right) & = \dfrac{-1-2 \cos \dfrac{\pi}{2}}{\sin^2 \dfrac{\pi}{2}} \\ & = \dfrac{-1-2(0)}{(1)^2} \\ & = \dfrac{-1-0}{1} = -1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{g’\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = -1}$
(Jawaban B)

Gunakan aturan hasil kali turunan.
$$\boxed{f(x) = uv \implies f'(x) = u’v+uv’}$$Diketahui $f(x) = \sin x(2+\cos x).$
Misalkan:
$\begin{aligned} u = \sin x & \implies u’  = \cos x \\ v  = 2 + \cos x & \implies v’ & = -\sin x \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} f'(x) & = u’v + uv’ \\ & = (\cos x)(2+\cos x)+(\sin x)(-\sin x) \\ & = 2 \cos x + \color{red}{\cos^2 x-\sin^2 x} \\ & = 2 \cos x + \color{red}{\cos 2x} \end{aligned}$$Untuk $x = \dfrac{\pi}{4}$, kita peroleh
$\begin{aligned} f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) & = 2 \cos \dfrac{\pi}{4} + \cos \cancel{2}\left(\dfrac{\pi}{\cancelto{2}{4}}\right) \\ & = \cancel{2} \cdot \dfrac{1}{\cancel{2}}\sqrt2 + 0 = \sqrt2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt2}$
(Jawaban C)

Diketahui $y = \cos (2x^3-x^4).$
Gunakan aturan rantai.
Misalkan $u = 2x^3-x^4 \implies u’ = 6x^2-4x^3.$
Dengan demikian, didapat
$$\begin{aligned} y & = \cos u \\ \implies y’ & = -\sin u \cdot u’ \\ & = -\sin (2x^3-x^4) \cdot (6x^2-4x^3) \\ & = -(6x^2-4x^3) \sin (2x^3-x^4) \end{aligned}$$Jadi, turunan pertama dari fungsi $y = \cos (2x^3-x^4)$ adalah $\boxed{y’ = -(6x^2-4x^3) \sin (2x^3-x^4)}$
(Jawaban E)

Diketahui $g(\theta) = \cos^{3} \theta = (\underbrace{\cos \theta}_{u})^3.$
Dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh
$\begin{aligned} g'(\theta) & = \color{red}{3} \cos^2 \theta \cdot \underbrace{(-\sin \theta)}_{u’} \\ & = -3 \cos^2 \theta \sin \theta \end{aligned}$
Jadi, turunan fungsi tersebut adalah $\boxed{g'(\theta) = -3 \cos^2 \theta \sin \theta}$
(Jawaban C)

Diketahui $y = \tan \underbrace{(2\theta-3)}_{u}.$
Dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh
$\begin{aligned} y’ & = \sec^2 (2\theta-3) \cdot \underbrace{2}_{u’} \\ & = 2 \sec^2 (2\theta-3) \end{aligned}$
Jadi, turunan fungsi tersebut adalah $\boxed{y’= 2 \sec^2 (2\theta-3)}$
(Jawaban D)

Diketahui $g(x) = \dfrac{\sin 2x-\cos x}{\cos 4x}$.
Gunakan aturan hasil bagi.
Misalkan:
$\begin{aligned} u & = \sin 2x-\cos x \\ \implies u’ & = 2 \cos 2x+\sin x \\ v & = \cos 4x \\ \implies v’ & = -4 \sin 4x \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} g'(x) & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{(2 \cos 2x + \sin x)(\cos 4x)-(\sin 2x-\cos x)(-4 \sin 4x)}{(\cos 4x)^2} \\ g’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) & = \dfrac{\left(2 \cos \dfrac{\pi}{2} + \sin \dfrac{\pi}{4}\right)(\cos \pi)-\left(\sin \dfrac{\pi}{2}-\cos \dfrac{\pi}{4}\right)(-4 \sin \pi)}{(\cos \pi)^2} \\ & = \dfrac{\left(2 \cdot 0 + \dfrac12\sqrt2\right)(-1)-\left(1-\dfrac12\sqrt2\right)(-4 \cdot 0)}{(-1)^2} \\ & = \dfrac{-\dfrac12\sqrt2-0}{1} = -\dfrac12\sqrt2 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{g’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac12\sqrt2}$
(Jawaban D)

Diketahui $\color{red}{h(\theta) = \sec^4 (p\theta+q) = (\underbrace{\sec (p\theta + q)}_{u})^4}.$
Dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh
$$\begin{aligned} h'(\theta) & = 4 \sec^3 (p\theta+q) \cdot \underbrace{\sec (p\theta + q) \tan (p\theta+q) \cdot p}_{u’} \\ & = 4p \tan (p\theta+q) \color{red}{\sec^4 (p\theta+q)} \\ & = 4p \tan (p\theta+q) \cdot \color{red}{h(\theta)} \end{aligned}$$Jadi, turunan pertama fungsi trigonometri tersebut adalah $\boxed{h'(\theta) = 4p \tan (p\theta+q) \cdot h(\theta)}$
(Jawaban B)

Diketahui $y = \sin 3x-\cos 3x$.
Dengan menggunakan aturan turunan dasar beserta aturan rantai, diperoleh
$\begin{aligned} y’ & = 3 \cos 3x-(-3 \sin 3x) \\ & = 3 \cos 3x + 3 \sin 3x \end{aligned}$
Untuk $x = 45^{\circ}$, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} \rvert_{x = 45^{\circ}} & = 3 \cos 3(45^{\circ}) + 3 \sin 3(45^{\circ}) \\ & = 3 \cos 135^{\circ} + 3 \sin 135^{\circ} \\ & = 3 \cdot \left(-\dfrac12\sqrt2\right) + 3 \cdot \dfrac12\sqrt2 = 0 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} \rvert_{x = 45^{\circ}} = 0}$
(Jawaban C)

Diketahui $f(x) = \underbrace{x \sin x}_{u} \underbrace{\cos x}_{v}$.
Gunakan aturan hasil kali dengan $u’ = 1(\sin x) + x(\cos x)$ $= \sin x + x \cos x$ dan $v’ = -\sin x.$
Kita peroleh
$$\begin{aligned} f'(x) & = u’v + uv’ \\ & = (\sin x+x \cos x)(\cos x)+(x \sin x)(-\sin x) \\ & = \sin x \cos x + x \cos^2 x-x \sin^2 x \\ & = \dfrac12(2 \sin x \cos x) + x(\cos^2 x-\sin^2 x) \\ & = \dfrac12 \sin 2x + x \cos 2x \end{aligned}$$Catatan: Ingat bahwa $\boxed{\sin 2x = 2 \sin x \cos x}$ dan $\boxed{\cos 2x = \cos^2 x-\sin^2 x}$
Jadi, turunan dari $f(x)$ adalah $\boxed{f'(x) = \dfrac12 \sin 2x + x \cos 2x}$
(Jawaban A)

Diketahui $y = (\underbrace{x \cos x}_{a})^2$.
Pertama, akan dicari turunan dari $a$ menggunakan aturan hasil kali.
Misalkan:
$\begin{aligned} u & = x \implies u’ = 1 \\ v & = \cos x \implies v’ = -\sin x \end{aligned}$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} a’ & = u’v + uv’ \\ & = 1(\cos x)+x(-\sin x) \\ & = \cos x-x \sin x \end{aligned}$
Sekarang dengan aturan rantai, didapat
$\begin{aligned} y’ & = 2a \cdot a’ \\ & = 2(x \cos x)(\cos x-x \sin x) \\ & = 2x \cos^2 x-2x^2 \sin x \cos x \end{aligned}$
Jadi, turunannya adalah $\boxed{y’ = 2x \cos^2 x-2x^2 \sin x \cos x}$
(Jawaban A)

Diketahui $y = \sin^3 (2x+3) = (\underbrace{\sin (2x+3)}_{u})^3$.
Dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh
$$\begin{aligned} y’ & = 3 \sin^2 (2x+3) \cdot \underbrace{(2 \cos (2x + 3))}_{u’} \\ & = 6 \sin (2x+3) \sin (2x+3) \cos (2x+3) \\ & = \cancelto{3}{6} \sin (2x+3) \cdot \dfrac{1}{\cancel{2}} \sin 2(2x+3) && (\sin A \cos A = \dfrac12 \sin 2A) \\ & = 3 \sin (2x+3) \sin (4x+6) \\ & = -\dfrac32\left[\cos ((2x+3)+(4x+6))-\cos ((2x+3)-(4x+6))\right] && (\sin A \sin B = -\dfrac12[\cos (A+B)-\cos(A-B)]) \\ & = -\dfrac32(\cos (6x+9)-\cos (-2x-3)) \\ & = -\dfrac32(\cos (6x+9)-\cos (2x+3)) \end{aligned}$$Jadi, hasil bagi diferensial dari $y$ adalah $$\boxed{y’ = -\dfrac32(\cos (6x+9)-\cos (2x+3))}$$(Jawaban A)

Diketahui $y = \sqrt{1+\sin^2 x} = (1+\sin^2 x)^{\frac12}$.
Dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh
$$\begin{aligned} y’ & = \dfrac12(1+\sin^2 x)^{-\frac12} \cdot D_x(1+\sin^2 x) \\ & = \dfrac{1}{\cancel{2}}(1+\sin^2 x)^{-\frac12} \cdot (\cancel{2} \sin x) D_x(\sin x) \\ & = (1 + \sin^2 x)^{-\frac12} \sin x \cos x \\ & = \dfrac{\sin x \cos x}{\sqrt{1+\sin^2 x}} \end{aligned}$$Jadi, turunan pertama $y$ adalah $\boxed{y’ = \dfrac{\sin x \cos x}{\sqrt{1+\sin^2 x}}}$
(Jawaban E)

Karena $x = 3 \cos 4t$, maka turunan pertama $x$ terhadap $t$ dinyatakan oleh $\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t} = 3(-4 \sin 4t) = -12 \sin 4t.$
Karena $y = 2t$, maka turunan pertama $y$ terhadap $t$ dinyatakan oleh $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}t} = 2.$
Dengan demikian, kecepatan alat penggores dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} v(t) & = \sqrt{\left(\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t}\right)^2+\left(\dfrac{\text{d}y}{\text{d}t}\right)^2} \\ & = \sqrt{(-12 \sin 4t)^2 + (2)^2} \\ & = \sqrt{144 \sin^2 4t + 4} \end{aligned}$
Untuk $t = \dfrac{\pi}{2}$, diperoleh
$\begin{aligned} v\left(\dfrac{\pi}{2}\right) & = \sqrt{144 \sin^2 2\pi + 4} \\ & = \sqrt{144(0)+4} = 2 \end{aligned}$
Jadi, kecepatan alat penggores itu saat $t = \dfrac{\pi}{2}$ adalah $\boxed{2~\text{cm/detik}}$
(Jawaban A)

Pertama, kita akan mencari turunan pertama $y$ menggunakan aturan hasil bagi.
Misal:
$\begin{aligned} u & = 9x^2 \sin^2 x + 4 \\ \Rightarrow u’ & = 18x \sin^2 x + 18x^2 \sin x \cos x \\ v & = x \sin x \Rightarrow v’ = \sin x + x \cos x \end{aligned}$
Turunan pertama dari $y$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} y & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{(18x \sin^2 + 18x^2 \sin x \cos x)(x \sin x)-(9x^2 \sin^2 x + 4)(\sin x + x \cos x)}{(x \sin x)^2} \end{aligned}$$Agar diperoleh nilai maksimum, nilai turunan pertamanya harus bernilai $0$, artinya
$$\begin{aligned} 0 & = 18x \sin^2 + 18x^2 \sin x \cos x)(x \sin x)-(9x^2 \sin^2 x + 4)(\sin x + x \cos x) \\ 0 & = \cancel{(\sin x + x \cos x)}(18x^2 \sin^2 x)-((9x^2 \sin^2 x + 4)\cancel{(\sin x + x \cos x)} \\ 9x^2 \sin^2 x + 4 & = 18x^2 \sin^2 x \\ 9x^2 \sin^2 x & = 4 \\ x^2 \sin^2 x & = \dfrac49 \\ \Rightarrow x \sin x & = \dfrac23 \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $\sin x$ bernilai positif di kuadran pertama dan kedua (pada interval $0 < x < \pi$) sehingga $x \sin x$ positif.
Selanjutnya, nilai $y$ akan maksimum saat $x \sin x = \dfrac23$.
$\begin{aligned} y & = \dfrac{9x^2 \sin^2 x + 4}{x \sin x} \\ y_{\text{maks}} & = \dfrac{9\left(\dfrac23\right)^2 + 4}{\dfrac23} = \dfrac{4+4}{\dfrac23} = 12 \end{aligned}$
Jadi, nilai maksimum $y$ adalah $\boxed{12}$
(Jawaban C)

Tinjau persamaan $y_1 = \sin x$.
Turunan pertamanya adalah $y_1′ = \cos x.$
Sekarang, tinjau persamaan $y_2 = \sin (\underbrace{\sin x}_{u}).$
Turunan pertamanya dapat dicari dengan menggunakan aturan rantai, yaitu $y_2’= \underbrace{\cos x}_{u’} \cos (\sin x).$
Selanjutnya, tinjau persamaan $y_3 = \sin(\underbrace{\sin(\sin x))}_{u}).$
Turunan pertamanya juga dapat dicari dengan menggunakan aturan rantai, yaitu
$y_3’= \underbrace{\cos x \cos (\sin x)}_{u’} \cos(\sin(\sin x)))$
Dengan memperhatikan pola turunannya, kita dapat mendeduksi (menyimpulkan) bahwa dari turunan pertama $y = \sin(\sin(\sin(\cdots \sin(\sin x))\cdots))$ memuat ekspresi $\color{red}{\cos x}$, $\color{red}{\cos(\sin x)}$, $\cdots,$ dan $\color{red}{\cos(\sin(\sin(\cdots \sin(\sin x))\cdots))}$.
Perhatikan bahwa $\sin 0 = 0$ dan $\cos 0 = 1$.
Substitusi $x = 0$ mengakibatkan diperolehnya
$y’_{x = 0} = \cos 0 \cdot \cos 0 \cdots \cos 0 = 1.$
(Jawaban D)

Sederhanakan $f(x)$ terlebih dahulu.
$\begin{aligned} f(x) & = \dfrac{\sec x + \csc x}{\csc x \sec x} \\ & = \dfrac{\dfrac{1}{\cos x}+\dfrac{1}{\sin x}}{\dfrac{1}{\sin x \cos x}} \\ & = \dfrac{\sin x \bcancel{\cos x}}{\cancel{\cos x}} + \dfrac{\cancel{\sin x} \cos x}{\cancel{\sin x}} \\ & = \sin x + \cos x \end{aligned}$
Perhatikan pola turunannya.
$\begin{aligned} f'(x) & = \cos x-\sin x \\ f^{\prime \prime}(x) & = -\sin x-\cos x \\ f^{\prime \prime \prime}(x) & = -\cos x+\sin x \\ f^{(4)}(x) & = \sin x+\cos x \end{aligned}$
Ternyata turunan keempat fungsi $f(x)$ sama dengan $f(x)$ itu sendiri.
Ini artinya, setiap turunan ke-$4n$ untuk $n$ bilangan asli, hasilnya sama dengan $f(x) = \sin x + \cos x$, begitu juga berlaku prinsip yang sama untuk turunan ke-$4n+1$, turunan ke-$4n+2$, dan turunan ke-$4n+3$.
Karena $2019$ bersisa $3$ bila dibagi $4$, maka turunan ke-$2019$ fungsi $f$ sama dengan turunan ketiganya, yaitu $$\boxed{f^{(2019})(x) = f^{\prime \prime \prime}(x) = -\cos x+\sin x}$$(Jawaban E)

Jawaban a)
Diketahui $y = 2x + \sin x$.
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(2x) + \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(\sin x) \\ & = 2 + \cos x \end{aligned}$
Jadi, turunannya adalah $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 2 + \cos x}$
Jawaban b)
Diketahui $y = 5 \sin x-6 \cos x$.
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 5 \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(\sin x)-6 \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(\cos x) \\ & = 5 \cos x-6(-\sin x) \\ & = 5 \cos x + 6 \sin x \end{aligned}$
Jadi, turunannya adalah $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 5 \cos x + 6 \sin x}$
Jawaban c)
Diketahui $y = 8x^3-\sin x + 6$.
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 8 \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(x^3)- \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(\sin x) + \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (6) \\ & = 8(3x^2)-\cos x+0 \\ & = 24x^2-\cos x \end{aligned}$$Jadi, turunannya adalah $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 24x^2-\cos x}$
Jawaban d)
Diketahui $y = 6 \cos x-8(x^2+x)$.
Persamaan di atas ekuivalen dengan $y = 6 \cos x-8x^2-8x$.
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 6 \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(\cos x)-8\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(x^2)-8\dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (x) \\ & = 6(-\sin x)-8(2x)-8(1) \\ & = -6 \sin x-16x-8 \end{aligned}$$Jadi, turunannya adalah $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = -6 \sin x-16x-8}$
Jawaban e)
Diketahui $y = 2 \sin x + \tan x$.
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 2 \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(\sin x)+\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(\tan x) \\ & = 2(\cos x)+\sec^2 x \\ & = 2 \cos x + \sec^2 x \end{aligned}$
Jadi, turunannya adalah $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 2 \cos x + \sec^2 x}$
Jawaban f)
Diketahui $y = x^2 + \cos x + \cos \dfrac{\pi}{4}$.
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(x^2)+\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(\cos x) + \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\cos \dfrac{\pi}{4}\right) \\ & = 2x + (-\sin x) + 0 \\ & = 2x-\sin x \end{aligned}$$Jadi, turunannya adalah $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 2x-\sin x}$

Turunkan fungsi dulu, lalu substitusikan nilai variabelnya menjadi $\dfrac{\pi}{4}$.
Jawaban a)
Diketahui $f(t) = 2 \sec t + 3 \tan t-\tan \dfrac{\pi}{3}$.
$$\begin{aligned} f'(t) & = 2 (\sec t \tan t) + 3 (\sec^2 t)-0 \\ f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) & = 2 \cdot \sec \dfrac{\pi}{4} \cdot \tan \dfrac{\pi}{4} + 3 \sec^2 \dfrac{\pi}{4} \\ & = 2 \cdot \sqrt2 \cdot 1 + 3 (\sqrt2)^2 \\ & = 2\sqrt2 + 6 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 2\sqrt2+6}$
Jawaban b)
Diketahui $f(\theta) = 2 \sin \theta + 3 \cos \theta$.
$\begin{aligned} f'(\theta) & = 2 \cos \theta + 3(-\sin \theta) \\ & = 2 \cos \theta-3 \sin \theta \\ f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) & = 2 \cos \dfrac{\pi}{4}-3 \sin \dfrac{\pi}{4} \\ & = 2 \cdot \dfrac12\sqrt2-3 \cdot \dfrac12\sqrt2 \\ & = \sqrt2-\dfrac32\sqrt2 = -\dfrac12\sqrt2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac12\sqrt2}$
Jawaban c)
Diketahui $f(t) = \sin^2 t + \cos^2 t$.
Ingat bahwa $f(t) = 1$ karena $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ (Identitas Pythagoras). Dengan kata lain, fungsi $f$ merupakan fungsi konstan.
Ini artinya, $f'(t) = 0$ karena turunan fungsi konstan selalu $0$.
Jadi, $\boxed{f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 0}$
Jawaban d)
Diketahui $f(\alpha) = \csc \alpha + \sec \alpha$.
Dengan menurunkan masing-masing suku, diperoleh
$$f'(\alpha) = (-\csc \alpha \cot \alpha) + (\sec \alpha \tan \alpha)$$Substitusi $\alpha = \dfrac{\pi}{4}$ untuk mendapatkan
$$\begin{aligned} f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) & = \left(-\csc \dfrac{\pi}{4} \cot \dfrac{\pi}{4}\right) + \left(\sec \dfrac{\pi}{4} \tan \dfrac{\pi}{4}\right) \\ & = (-\sqrt2 \cdot 1) + (\sqrt2 \cdot 1) \\ & = -\sqrt2 + \sqrt2 = 0 \end{aligned}$$Jadi, $\boxed{f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 0}$
Jawaban e)
Diketahui $f(x) = \tan x-\cot x$.
Dengan menurunkan masing-masing suku, diperoleh
$\begin{aligned} f'(x) & = \sec^2 x-(-\csc^2 x) \\ & = \sec^2 x + \csc^2 x \end{aligned}$
Substitusi $x = \dfrac{\pi}{4}$ untuk mendapatkan
$\begin{aligned} f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) & = \sec^2 \dfrac{\pi}{4} + \csc^2 \dfrac{\pi}{4} \\ & = (\sqrt2)^2 + (\sqrt2)^2 \\ & = 2+2 = 4 \end{aligned}$
Jadi, $\boxed{f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 4}$

Diketahui $h(x) = x \cdot g(x)$.
Dengan menggunakan aturan hasil kali turunan, diperoleh
$h'(x) = 1 \cdot g(x) + x \cdot g'(x)$.
Dengan demikian, kita peroleh bahwa
$\begin{aligned} x \cdot h'(x) & = x(g(x) + x \cdot g'(x)) \\ & = x \cdot g(x) + x^2 \cdot g'(x) \\ & = h(x) + x^2 \cdot g'(x) \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\boxed{x \cdot h'(x) = h(x) + x^2g'(x)}$

Diketahui $f(x) = \dfrac{a \sin x + b \cos x}{c \sin x + d \cos x}$.
Dengan menggunakan aturan hasil bagi, kita misalkan:
$$\begin{aligned} & u = a \sin x + b \cos x \implies u’ = a \cos x-b \sin x \\ & v = c \sin x + d \cos x \implies v’ = c \cos x-d \sin x \end{aligned}$$Untuk itu, kita peroleh
$$\begin{aligned} f'(x) & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{(a \cos x-b \sin x) (c \sin x + d \cos x)-(a \sin x + b \cos x)(c \cos x-d \sin x)}{(c \sin x + d \cos x)^2} \end{aligned}$$Perhatikan bahwa untuk membuktikan pernyataan di atas, kita hanya perlu meninjau bagian pembilangnya saja, karena penyebutnya sudah sama.
Kita tuliskan pembilang $f'(x)$ sebagai
$$\begin{aligned} g'(x) & = (a \cos x-b \sin x) \cdot (c \sin x + d \cos x)-(a \sin x + b \cos x)(c \cos x-d \sin x) \\ & = \cancel{ac \sin x \cos x} + ad \cos^2 x-bc \sin^2 x-\bcancel{bd \sin x \cos x}-(\cancel{ac \sin x \cos x}-ad \sin^2 x + bc \cos^2 x-\bcancel{bd \sin x \cos x}) \\ & = ad \sin^2 x + ad \cos^2 x-bc \sin^2 x-bc \cos^2 x \\ & = ad(\sin^2 x + \cos^2 x)-bc(\sin^2 x + \cos^2 x) \\ & = ad(1)-bc(1) = ad-bc \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa turunan pertama fungsi $f$ tersebut adalah $\boxed{f'(x)= \dfrac{ad-bc}{(c \sin x + d \cos x)^2}}$

Jawaban a)
Ubah fungsinya dalam bentuk umum formula tersebut, yaitu
$g(\theta) = \dfrac{1 \sin \theta + 0 \cos \theta}{1 \sin \theta + 1 \cos \theta}$
Kita peroleh $a = c = d = 1$, sedangkan $b = 0$.
Dengan demikian, turunan fungsi tersebut adalah
$\begin{aligned} g'(\theta) & = \dfrac{ad-bc}{(c \sin \theta + d \cos \theta)^2} \\ & = \dfrac{1(1)-0(1)}{(\sin \theta + \cos \theta)^2} \\ & = \dfrac{1}{(\sin \theta + \cos \theta)^2} \end{aligned}$
Jawaban b)
Diketahui $h(t) = \dfrac{2 \sin t-\cos t}{3 \sin t + \cos t}.$
Fungsi $h$ telah dirumuskan dalam bentuk umum formula, dengan $a = 2,$ $b= -1$, $c = 3$, dan $d = 1$.
Turunan fungsi tersebut adalah
$\begin{aligned} h'(t) & = \dfrac{ad-bc}{(c \sin t + d \cos t)^2} \\ & = \dfrac{2(1)-(-1)(3)}{(3 \sin t + \cos t)^2} \\ & = \dfrac{5}{(3 \sin t + \cos t)^2} \end{aligned}$
Jawaban c)
Ubah fungsinya dalam bentuk umum formula tersebut, yaitu
$p(\alpha) = \dfrac{1 \sin \alpha + 2 \cos \alpha}{3 \sin \alpha + 0 \cos \alpha}.$
Kita peroleh $a = 1$, $b = 2$, $c = 3$, dan $d = 0$.
Dengan demikian, turunan fungsi tersebut adalah
$\begin{aligned} p'(\alpha) & = \dfrac{ad-bc}{(c \sin \alpha + d \cos \alpha)^2} \\ & = \dfrac{1(0)-(2)(3)}{(3 \sin \alpha + 0 \cos \alpha)^2} \\ & = -\dfrac{6}{9 \sin^2 \alpha} = -\dfrac{2}{3 \sin^2 \alpha} \end{aligned}$
Jawaban d)
Ubah fungsinya dalam bentuk umum formula tersebut, yaitu
$k(x) = \dfrac{-2 \sin x + 4 \cos x}{3 \sin x + 5 \cos x}.$
Kita peroleh $a = -2$, $b = 4$, $c = 3$, dan $d = 5$.
Dengan demikian, turunan fungsi tersebut adalah
$\begin{aligned} k'(x) & = \dfrac{ad-bc}{(c \sin x + d \cos x)^2} \\ & = \dfrac{(-2)(5)-(4)(3)}{(3 \sin x + 5 \cos x)^2} \\ & = -\dfrac{22}{(3 \sin x + 5 \cos x)^2} \end{aligned}$

Diketahui:
$f(\theta) = \sin \theta \implies f'(\theta) = \cos \theta$
$g(\theta) = \cos \theta \implies g'(\theta) = -\sin \theta$
Jawaban a)
$\begin{aligned} & f'(\theta) \cdot g(\theta)-f(\theta) \cdot g'(\theta) \\ & = \cos \theta \cdot (\cos \theta)-\sin \theta \cdot (-\sin \theta) \\ & = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \end{aligned}$
(Terbukti)
Jawaban b)
$\begin{aligned} & f'(\theta) \cdot g(\theta)+f(\theta) \cdot g'(\theta) \\ & = \cos \theta \cdot (\cos \theta)+\sin \theta \cdot (-\sin \theta) \\ & = \cos^2 \theta- \sin^2 \theta \\ & = \cos^2 \theta-(1-\cos^2 \theta) \\ & = 2 \cos^2 \theta-1 \end{aligned}$
(Terbukti)

Diketahui $f(x) = \dfrac{x \sin x}{\sin x + \cos x}.$
Akan dicari turunan pertama dari $f(x)$ menggunakan aturan hasil bagi.
Misalkan:
$$\begin{aligned} u & = x \sin x \implies u’ = \sin x + x \cos x \\ v & = \sin x + \cos x \implies v’ = \cos x-\sin x \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} f'(x) & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{(\sin x + x \cos x)(\sin x + \cos x)-(x \sin x)(\cos x-\sin x)}{(\sin x + \cos x)^2} \\ & = \dfrac{\sin^2 x + \sin x \cos x +\cancel{ x \sin x \cos x} + x \cos^2 x- \cancel{x \sin x \cos x} + x \sin^2 x}{(\sin^2 x + \cos^2 x) + 2 \sin x \cos x} \\ & = \dfrac{\sin^2 x + \sin x \cos x + x(\sin^2 x + \cos^2 x)}{1 + \sin 2x} \\ & = \dfrac{\sin x(\sin x + \cos x) + x(1)}{1+\sin 2x} \\ & = \dfrac{x + \sin x(\sin x + \cos x)}{1+\sin 2x} \end{aligned}$$Selanjutnya, didapat
$$\begin{aligned} & f'(x)(1+\sin 2x) \\ & = \dfrac{x + \sin x(\sin x + \cos x)}{\cancel{1+\sin 2x}} \cdot \cancel{(1+\sin 2x)} \\ & = x + \sin x(\sin x + \cos x) \end{aligned}$$(Terbukti)

Gunakan aturan hasil bagi turunan.
Misalkan:
$\begin{aligned} u & = 2t \sin t + 3 \cos t \\ u’ & = (2 \sin t + 2t \cos t)-3 \sin t  \\ & = -\sin t + 2t \cos t \\ v & = \sin t + 3t \cos t \\ v’ & = \cos t + (3 \cos t -3t \sin t) \\ & = 4 \cos t-3t \sin t \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} f'(t) & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{(-\sin t + 2t \cos t)(\sin t + 3t \cos t)-(2t \sin t + 3 \cos t)(4 \cos t-3t \sin t)}{(\sin t + 3t \cos t)^2} \\ & = \dfrac{\color{red}{-\sin^2 t} -3t \sin t \cos t + 2t \sin t \cos t + \color{blue}{6t^2 \cos^2 t} + 3 \sin t \cos t + 9t \cos^2 t-8t \sin t \cos t+\color{red}{6t^2 \sin^2 t}\color{blue}{-12 \cos^2 t}+9t \sin t \cos t}{(\sin t + 3t \cos t)^2} \\ & = \dfrac{(6t^2-1) \sin^2 t + (6t^2-12) \cos^2 t + (-3t+2t-8t+9t) \sin t \cos t}{(\sin t + 3t \cos t)^2} \\ & = \dfrac{(6t^2-1) \sin^2 t + (6t^2-12) \cos^2 t}{(\sin t + 3t \cos t)^2} \end{aligned}$$Jadi, turunan pertama dari fungsi itu adalah $$\boxed{f'(t) = \dfrac{(6t^2-1) \sin^2 t + (6t^2-12) \cos^2 t}{(\sin t + 3t \cos t)^2}}$$

Gunakan aturan hasil bagi turunan.
$\boxed{f(x) = \dfrac{u}{v} \implies f'(x) = \dfrac{u’v-uv’}{v^2}}$
Diketahui $f(x) = \dfrac{\cos x-\sin x}{\cos x + \sin x}$.
Misalkan:
$$\begin{aligned} u & = \color{red}{\cos x} \color{blue}{-\sin x} \\ u’ & = \color{red}{-\sin x}\color{blue}{-\cos x} = -(\cos x + \sin x) \\ v & = \color{red}{\cos x}\color{blue}{+\sin x} \\ v’ & = \color{red}{-\sin x}\color{blue}{+\cos x} = \cos x-\sin x \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} f'(x) & = \dfrac{-(\cos x + \sin x)(\cos x + \sin x)-(\cos x-\sin x)(\cos x-\sin x) }{(\cos x + \sin x)^2} \\ & = -1\left(\dfrac{(\cos x + \sin x)^2 + (\cos x-\sin x)^2}{(\cos x + \sin x)^2}\right) \\ & = -1\left(\dfrac{(\cos x + \sin x)^2}{(\cos x + \sin x)^2} + \dfrac{(\cos x-\sin x)^2}{(\cos x + \sin x)^2}\right) \\ & = -1\left(1+\left(\dfrac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}\right)^2\right) \\ f'(x) & = -1(1 + f^2(x)) \end{aligned}$$(Terbukti)

Diketahui $$h(y) = y^3-\color{red}{y^2 \cos y} + \color{blue}{2y \sin y} + 2 \cos y.$$Bentuk yang diberi warna di atas merupakan hasil kali dua fungsi sehingga turunannya dapat ditentukan dengan menggunakan aturan hasil kali: $f(x) = uv \implies f'(x) = u’v + uv’$.
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} h'(y) & = 3y^2-(2y \cos y + y^2 (-\sin y)) + 2(\sin y + y \cos y) + 2 (-\sin y) \\ & = 3y^2-\cancel{2y \cos y}+y^2 \sin y + \bcancel{2 \sin y} + \cancel{2y \cos y}-\bcancel{2 \sin y} \\ & = 3y^2+y^2 \sin y \end{aligned}$$Jadi, turunan dari fungsi trigonometri tersebut adalah $\boxed{h'(y) = 3y^2 + y^2 \sin y}$

Gunakan aturan rantai bertingkat.
Jawaban a)
Diketahui $f(x) = \cos^7 (x^3) = (\underbrace{\cos (x^3)}_{u})^7$.
Kita peroleh
$$\begin{aligned} f'(x) & = 7 (\cos^6 (x^3)) \cdot \underbrace{(-\sin (x^3)) \cdot 3x^2}_{u’} \\ & = -21x^2 \sin (x^3) \cos^6 (x^3) \end{aligned}$$Jadi, turunan pertama fungsi $f(x)$ adalah $\boxed{f'(x) = -21x^2 \sin (x^3) \cos^6 (x^3)}$
Jawaban b)
Diketahui $g(x) = \cot (\underbrace{2x^4}_{u})$.
Kita peroleh
$\begin{aligned} g'(x) & = -\csc^2 (2x^4) \cdot \underbrace{8x^3}_{u’} \\ & = -8x^3 \csc^2 (2x^4) \end{aligned}$
Jadi, turunan pertama fungsi $g(x)$ adalah $\boxed{g'(x) = -8x^3 \csc^2 (2x^4)}$
Jawaban c)
Diketahui $r(x) = (\underbrace{\sin 3x-9 \cos^3 x}_{u})^6$.
Kita peroleh
$r'(x) = 6 (\sin 3x-9 \cos^3 x)^5 \cdot$ $\underbrace{(3 \cos 3x-27 \cos^2 x (-\sin x))}_{u’}$
Catatan: Turunan dari $v = \cos^3 x$ adalah $v’ = 3 \cos^2 x (-\sin x)$.
Jadi, turunan pertama dari fungsi $r(x)$ adalah $$\boxed{r'(x) = 6 (\sin 3x-9 \cos^3 x)^5 \cdot (3 \cos 3x-27 \cos^2 x (-\sin x))}$$ 

Gunakan aturan rantai bertingkat.
Jawaban a)
Diketahui $f(\theta) = \sin (\underbrace{\sin \theta}_{u})$.
Kita peroleh
$\begin{aligned} f'(\theta) & = \cos (\sin \theta) \cdot \underbrace{\cos \theta}_{u’} \\ & = \cos \theta \cos (\sin \theta) \end{aligned}$
Jawaban b)
Diketahui $h(x) = \sin (\underbrace{2 \cos x}_{u})$.
Kita peroleh
$\begin{aligned} h'(x) & = \cos (2 \cos x) \cdot \underbrace{-2 \sin x}_{u’} \\ & = -2 \sin x \cos (2 \cos x) \end{aligned}$
Jawaban c)
Diketahui $H(x) = \sin [\underbrace{\sin (\underbrace{\sin x}_{v})}_{u}]$.
Kita peroleh
$$\begin{aligned} H'(x) & = \cos [\sin (\sin x)] \cdot \underbrace{\cos (\sin x)}_{u’} \cdot \underbrace{\cos x}_{v’} \\ & = \cos x \cos (\sin x) \cos [\sin (\sin x)] \end{aligned}$$

Jawaban a)
Diketahui $y = \sin (\underbrace{4x^2+3x}_{u})$.
Dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh turunan pertamanya:
$y’ = \underbrace{(8x + 3)}_{u’} \cos (4x^2+3x)$
Jawaban b)
Diketahui
$\begin{aligned} y & = (1+\sin^2 x)(1-\sin^2 x) \\ & = 1-\sin^4 x = 1-(\underbrace{\sin x}_{u})^4 \end{aligned}$
Turunan pertamanya dinyatakan oleh
$\begin{aligned} y’ & = 0-4 \sin^3 x \cdot \underbrace{\cos x}_{u} \\ & = -4 \sin^3 x \cos x \end{aligned}$
Jawaban c)
Diketahui $y = \left(\underbrace{\dfrac{\cos x}{1+\sin x}}_{u}\right)^3$.
Turunan dari $u$ dapat ditentukan dengan menggunakan aturan hasil bagi, sedangkan fungsi $y$ secara keseluruhan diturunkan menggunakan aturan rantai.
$$\begin{aligned} y’ & = 3 \cdot \dfrac{\cos x}{1+\sin x} \cdot \dfrac{(-\sin x)(1+\sin x)-(\cos x)(\cos x)}{(1+\sin x)^2} \\ & = \dfrac{3 \cos x(-\sin x-\sin^2 x-\cos^2 x)}{(1+\sin x)^3} \\ & = \dfrac{3 \cos x(-\sin x-1)}{(1+\sin x)^3} && (\sin^2 x + \cos^2 x = 1) \\ & = \dfrac{-3 \cos x\cancel{(1 + \sin x)}}{(1+\sin x)^{\cancelto{2}{3}}} \\ & = \dfrac{-3 \cos x}{(1+\sin x)^2} \end{aligned}$$Jawaban d)
Diketahui $y = \dfrac{(1+\sin x)^2}{x^3}$.
Secara keseluruhan, kita menggunakan aturan hasil bagi untuk menurunkan $y$, tetapi masing-masing komponen diturunkan berlandaskan aturan rantai dan aturan hasil kali.
Misalkan:
$\begin{aligned} u & = (1+\sin x)^2 \\ \implies u’ & = 2(1+\sin x)(\cos x) \\ v & = x^3 \\ \implies v’ & = 3x^2 \end{aligned}$
Dengan demikian, turunannya adalah
$$\begin{aligned} y’ & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{2(1+\sin x)(\cos x)(x^3)-(1+\sin x)^2(3x^2)}{(x^3)^2} \\ & = \dfrac{2x^3(1+\sin x)(\cos x)-3x^2(1+\sin x)^2}{x^6} \end{aligned}$$Jawaban e)
Diketahui $y = (x^2-1)^3 \cos (3x+2)$.
Secara keseluruhan, kita menggunakan aturan hasil kali untuk menurunkan $y$, tetapi masing-masing komponen diturunkan berlandaskan aturan rantai.
Misalkan:
$$\begin{aligned} u & = (x^2-1)^3 \\ \implies u’ & = 3(x^2-1)^2(2x) = 6x(x^2-1)^2 \\ v & = \cos (3x+2) \\ \implies v’ & = -3 \sin (3x+2) \end{aligned}$$Dengan demikian, turunannya adalah
$$\begin{aligned} y’ & = u’v + uv’ \\ & = 6x(x^2-1)^2 \cos (3x+2) + (x^2-1)^3(-3 \sin (3x+2)) \\ & = (x^2-1)^2(6x \cos (3x+2)-3(x^2-1) \sin (3x+2)) \end{aligned}$$Jawaban f)
Diketahui:
$y = \dfrac{1}{\sqrt{\cos x^2}} = (\underbrace{\cos x^2}_{u})^{-\frac12}.$
Dengan menggunakan aturan pangkat beserta aturan rantai (untuk menurunkan $u$), diperoleh
$$\begin{aligned} y’ & = -\dfrac{1}{\cancel{2}}(\cos x^2)^{-\frac32} \cdot \underbrace{(-\sin x^2 \cdot \cancel{2}x)}_{u’} \\ & = \dfrac{x \sin x^2}{\cos x^2 \cdot \sqrt{\cos x}} \end{aligned}$$

Diketahui $\dfrac{\text{d}f}{\text{d}x} = \dfrac{\sin x}{x}$.
Karena $u(x) = \cot x$, maka kita dapat nyatakan $x$ sebagai suatu fungsi bagi $u$, yaitu dengan cara invers: $x = \text{arccot}~u$.
Catatan: Arcus (ditulis $\text{arc}$) merupakan notasi untuk menyatakan fungsi invers dari trigonometri.
Turunan $x$ terhadap $u$ adalah $\dfrac{\text{d}x}{\text{d}u} = -\dfrac{1}{1+x^2}$.
Dengan menggunakan aturan rantai, didapat
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}f}{\text{d}u} & = \dfrac{\text{d}f}{\text{d}x} \cdot \dfrac{\text{d}x}{\text{d}u} \\ & = \dfrac{\sin x}{x} \cdot \left(-\dfrac{1}{1+x^2}\right) \\ & = -\dfrac{\sin x}{x + x^3} \end{aligned}$